GRAFICANDO- FUNCIÓN CUADRATICA

FUNCIÓN:

FUNCIÓN:

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x2      o     f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a2, etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

DOMINIO:
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s

RANGO O CODOMINIO
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.
En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.
El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Gráfica de la función y = f(x)

El punto (a, b) pertenece a la gráfica, lo que quiere decir que la función relaciona el valor a de la variable independiente con el valor b de la dependiente; a este valor se le denomina imagen de a y se escribe: b = f(a).

Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom f, al conjunto de valores que la variable x puede tomar.

El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen.


Recorrido de una función
El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Este conjunto se denota como Im f o Recorrido f.

Si consideramos la función que a cada número le asocia su cuadrado, y = x2, su dominio será todos los números reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier número. Pero la variable dependiente y sólo tomará valores mayores o iguales que 0, ya que el cuadrado de un número es siempre positivo.

Decimos que el recorrido de la función y = x2 es todos los números reales positivos más el 0 y lo representamos así:

Recorrido f = R+ ∪ {0}

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES:

FUNCION LINEAL:

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m  y  b son números reales.  La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal.  Tampoco su gráfica es una recta vertical.  El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. 
 Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales.  El intercepto en y es (0,b).
GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL:

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax^2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b  y  c son números reales.  La gráfica de una función cuadrática es una parábola.  Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo.  El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.  El vértice de la parábola se determina por la fórmula:




GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

MODELOS MATEMATICOS

MODELOS MATEMÁTICOS

un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El término modelización matemática es utilizado también en diseño gráfico cuando se habla de modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).
El significado de modelo matemático en matemática fundamental, sin embargo es algo diferente. En concreto en matemáticas se trabajan con modelos formales. Un modelo formal para una cierta teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y trinarias, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.

EJEMPLOS:

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo las tablas de contingencia. De hecho los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.
Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático e interacción social en 1961 y Bugeda en Sociología matemática en 1970. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre un modelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinónimos.

Modelo matemático de simulación hidrológica
Se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la realidad, como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que se ha intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.
La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas desde el punto de vista: del tipo de suelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El número y tipo de las variables hidrológicas que intervienen en el modelo son función de objetivo específico para el cual se elabora el mismo.

CALCULO DE PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN ECUACIONES CUADRÀTICAS

CALCULO DE PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN ECUACIONES CUADRÁTICAS

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

ECUACIONES

ECUACIONES

una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Grado de una ecuación
Tipos de ecuaciones polinómicas
1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales
1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Ecuaciones de segundo grado incompletas
1.3 Ecuaciones de tercer grado
1.4 Ecuaciones de cuarto grado
Ecuaciones bicuadradas

GRADO DE UNA ECUACIÓN: 
el grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Son del tipo ax+b=0

(x + 1)² = x² - 2

x² + 2x + 1 = x² - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ax² = 0

ax² + b = 0

ax² + bx = 0

ECUACIONES DE TERCER GRADO 
Son euaciones del tipo ax^3+bx^2+cx+d=0

ECUACIONES DE CUARTO GRADO
Son ecuaciones del tipo ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

IDENTIDADES TRIGONOMÈTRICAS

IDENTIDAD TRIGONOMETRICA

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).